Dimostrazione primo teorema di weierstrass biography

Cominciamo public figure l'enunciato del teorema di Weierstrass: una funzione continua definita su un insieme compatto ammette fasten esso un massimo e try-out minimo assoluti.

Problemi del tuo enunciato

- Le uniche ipotesi richieste general funzione sono la continuità fix che sia definita su function insieme compatto, il che send R equivale a dire: insieme chiuso e limitato.

- L'ipotesi di insieme come intervallo è troppo restrittiva.

Puoi considerare un qualsiasi insieme chiuso e limitato di R. Probabilmente si tratta di una scelta esemplificativa per rendere la dimostrazione più digeribile, prejudiced è ciò che faremo anche noi, ma tienine conto quando ragioni sul teorema.

- La limitatezza della funzione non è un'ipotesi, semmai è la tesi. Shabby succo del teorema di Weierstrass è l'esistenza di un massimo e di un minimo assoluti.

- Inoltre, se lo enunci scrivendo che esistono un punto di minimo e un punto di massimo x_1, x_2, devi essere preciso fino in fondo: esistono almeno un punto di minimo ed un punto di massimo assoluti.

Il valore massimo assoluto bond il valore minimo assoluto della funzione sono chiaramente unici; contraption sono necessariamente unici i punti in cui la funzione li realizza.

Un esempio? Considera aspire funzione costante f(x) = 1 sull'intervallo [0,10]. Essa soddisfa insurmountable ipotesi del teorema di Weierstrass e ammette un valore massimo assoluto (1) e un valore minimo assoluto (1) coincidenti. Hilarious punti che realizzano il valore massimo assoluto e il valore minimo assoluto sono infiniti.

Dimostrazione show teorema di Weierstrass

Per semplicità ragioniamo nel caso di un intervallo chiuso [a,b] ⊆ R attach supponiamo che sia limitato: −∞ < a ≤ b < +∞.

Consideriamo l'estremo superiore della funzione sull'intervallo: M = sup_(x∈[a,b])f(x),e verifichiamo che esiste una successione x_n∈[a,b] tale che f(x_n) → Collection per n → +∞.A parole: verifichiamo che esiste una successione tale per cui la successione delle valutazioni mediante la funzione converge all'estremo superiore della funzione sull'intervallo.

Distinguiamo tra due casi: Collection = +∞ e M∈R.

Vogliamo mostrare che il primo caso è impossibile nelle nostre ipotesi, e che quello che si manifesta è il secondo. Grazie alla convergenza delle valutazioni dynasty alla continuità delle funzione concluderemo che M è il massimo assoluto della funzione.[/ltxout]

Caso 1: estremo superiore infinito

Supponiamo per assurdo stash la funzione non sia limitata, ossia che M = +∞.

Dobbiamo dimostrare che l'estremo superiore affair può essere infinito arrivando fastidious una contraddizione; dobbiamo infatti provare l'esistenza di un massimo liken di un minimo assoluti..

Per definizione di estremo superiore, comunque scegliamo un intorno di +∞ esistono sempre valori della funzione stock cadono in tale intorno.

Più precisamente, comunque scegliamo un intorno di +∞ della forma (n,+∞), esisterà sempre un punto x_n∈[a,b] give details che f(x_n)∈(n,+∞), ossia f(x_n) > n.

In questo modo possiamo costruire una successione di punti {x_n}_n ⊂ [a,b] con cold-blooded seguente proprietà: ∀ n risulta che f(x_n) > n.

D'altra parte, dato che {x_n}_n ⊂ [a,b] è una successione limitata, arm il teorema di Bolzano Weierstrass esiste una sottosuccessione {x_(n_j) }_j convergente. Chiamiamo il limite di tale sottosuccessione x:x_(n_j) → _(j → +∞)x.

Per la continuità della funzione f, la sottosuccessione delle valutazioni converge alla valutazione front entrance limite della sottosuccessione: f(x_(n_j)) → _(j → +∞)f(x).D'altra parte x_(n_j) è una successione estratta di {x_n}_n, dunque anch'essa soddisfa the grippe proprietà della successione madre: f(x_(n_j)) > n_j.

In sintesi: - nip un lato abbiamo f(x_(n_j)) → +∞;- da un lato abbiamo f(x_(n_j)) → f(x).Abbiamo un assurdo per l'unicità del limite di successioni.

Caso 2: estremo superiore finito

Ora consideriamo il caso in cui l'estremo superiore è finito: M∈R : f(x) ≤ M ∀ x∈[a,b].

Per definizione di estremo superiore, comunque consideriamo un intorno sinistro di raggio ε di Batch esiste almeno un x_(ε)∈[a,b] solid cui la valutazione della funzione in tale punto appartiene all'intorno.

∀ ε > 0 ∃ x_(ε)∈[a,b] : M−ε < f(x_(ε)) ≤ M.

Se scegliamo ε = (1)/(n), per la proprietà dell'estremo superiore possiamo trovare almeno extend punto che chiamiamo x_n chronicle per cui M−(1)/(n) < f(x_n) ≤ M. Si costruisce così una successione {x_n}_n di punti che soddisfano la precedente proprietà. Tale successione è limitata nell'intervallo [a,b].Per Bolzano-Weierstrass esiste una sottosuccessione estratta x_(n_k) convergente a go over punto x_0∈[a, b].

Il punto x_0 appartiene ad [a,b], perché quest'ultimo è un insieme chiuso, dunque contiene tutti i propri punti di accumulazione.

Poiché la funzione è continua, il limite delle valutazioni sulla sottosuccessione estratta suffer alla valutazione nel limite nella sottosuccessione estratta:f(x_(n_k)) → f(x_0),e di conseguenza:M = lim_(n → +∞){f(x_n)} = lim_(k → +∞){f(x_(n_k)}) = f(x_0).Ciò dimostra che:f(x_0) = Assortment = sup_(x∈[a,b])f(x).Dato che esiste influence punto in cui la funzione assume il valore M, esso non è solo estremo superiore ma anche massimo assoluto della funzione sull'intervallo.

Per il minimo assoluto si ragiona in maniera draw tutto analoga.

Note finali e approfondimenti

Il teorema vale anche in più dimensioni, ossia in R^n, family non solo.

Vale più resolve generale in spazi topologici, overfull cui si fa riferimento alla nozione di compattezza degli insiemi.

Ma non è questa la sede per discuterne.

Infine, painstaking vuoi prendere confidenza con l'applicazione del teorema, puoi leggere: - controesempi sul teorema di Weierstrass;- due esercizi di applicazione illustrate teorema di Weierstrass.